यदि int {sqrt {1 + sin frac{x}{2}} } dx = A, | vedclass

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Question

(D) दिया गया समाकलन $I = \int \sqrt{1 + \sin \frac{x}{2}} dx$ है। सर्वसमिका $1 + \sin 	heta = (\sin \frac{	heta}{2} + \cos \frac{	heta}{2})^2$ का उ

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$4\,\sqrt{2}$

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(D) दिया गया समाकलन $I = \int \sqrt{1 + \sin \frac{x}{2}} dx$ है। सर्वसमिका $1 + \sin 	heta = (\sin \frac{	heta}{2} + \cos \frac{	heta}{2})^2$ का उपयोग करने पर: $1 + \sin \frac{x}{2} = (\sin \frac{x}{4} + \cos \frac{x}{4})^2$. अतः,$\sqrt{1 + \sin \frac{x}{2}} = |\sin \frac{x}{4} + \cos \frac{x}{4}|$. मान लीजिए कि $\sin \frac{x}{4} + \cos \frac{x}{4} > 0$ है,तो: $I = \int (\sin \frac{x}{4} + \cos \frac{x}{4}) dx$. पद-दर-पद समाकलन करने पर: $I = -4 \cos \frac{x}{4} + 4 \sin \frac{x}{4} + C$. इसे इस प्रकार लिखा जा सकता है: $I = 4 (\sin \frac{x}{4} - \cos \frac{x}{4}) + C$. सर्वसमिका $\sin 	heta - \cos 	heta = \sqrt{2} \sin(	heta - \frac{\pi}{4})$ का उपयोग करने पर: $I = 4 \sqrt{2} \sin(\frac{x}{4} - \frac{\pi}{4}) + C$. दिए गए रूप $A \sin(\frac{x}{4} - \frac{\pi}{4})$ के साथ तुलना करने पर,$A = 4\sqrt{2}$ प्राप्त होता है।

यदि $\int {\sqrt {1 + \sin \frac{x}{2}} } dx = A\, \sin\, \left( {\frac{x}{4} - \frac{\pi }{4}} \right) + C$ है,तो $A$ का मान ज्ञात कीजिए:

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$x \in \left(\frac{3 \pi}{4}, \pi\right)$ के लिए, समाकलन $\int(\sqrt{1+\sin 2 x}+\sqrt{1-\sin 2 x}) \, dx$ का मान ज्ञात कीजिए।

ज्ञात कीजिए: $\int \sin^{3} x \, dx$

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